题目内容
如图（1）正方形ABCD和正方形AEFG，边AE在边AB上，AB=12，AE=6
．将正方形AEFG绕点A逆时针旋转α（0°≤α≤45°）
（1）如图（2）正方形AEFG旋转到此位置，求证：BE=DG；
（2）在旋转的过程中，当∠BEA=120°时，试求BE的长；
（3）BE的延长线交直线DG于点Q，当正方形AEFG由图（1）绕点A逆时针旋转45°，请直接写出旋转过程中点Q运动的路线长；
（4）在旋转的过程中，是否存在某时刻BF=BC？若存在，试求出DQ的长；若不存在，请说明理由．（点Q即（3）中的点）
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（1）如图（2）正方形AEFG旋转到此位置，求证：BE=DG；
（2）在旋转的过程中，当∠BEA=120°时，试求BE的长；
（3）BE的延长线交直线DG于点Q，当正方形AEFG由图（1）绕点A逆时针旋转45°，请直接写出旋转过程中点Q运动的路线长；
（4）在旋转的过程中，是否存在某时刻BF=BC？若存在，试求出DQ的长；若不存在，请说明理由．（点Q即（3）中的点）
分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，再求出∠BAE=∠DAG，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）过点A作AH⊥BE交BE的延长线于H，根据邻补角的定义求出∠AEH=60°，解直角三角形求出AH、EH，再利用勾股定理列式求出BH，然后根据BE=BH-EH代入数据计算即可得解；
（3）根据全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠ADG，然后求出∠BQD=∠BAD=90°，再根据直径所对的圆周角是直角判断出点Q的轨迹为以BD为直径的弧AD，然后根据弧长公式列式计算即可得解；
（4）利用勾股定理列式求出AF，从而得到AB=AF=BF，判断出△ABF是等边三角形，再根据到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上判断出直线BE是AF的垂直平分线，根据等边三角形的性质可得∠ABQ=
∠BAF=30°，设BQ与AD相交于H，解直角三角形求出AH，再求出DH，然后在Rt△DHQ中，利用∠ADG的余弦列式求解即可．
（2）过点A作AH⊥BE交BE的延长线于H，根据邻补角的定义求出∠AEH=60°，解直角三角形求出AH、EH，再利用勾股定理列式求出BH，然后根据BE=BH-EH代入数据计算即可得解；
（3）根据全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠ADG，然后求出∠BQD=∠BAD=90°，再根据直径所对的圆周角是直角判断出点Q的轨迹为以BD为直径的弧AD，然后根据弧长公式列式计算即可得解；
（4）利用勾股定理列式求出AF，从而得到AB=AF=BF，判断出△ABF是等边三角形，再根据到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上判断出直线BE是AF的垂直平分线，根据等边三角形的性质可得∠ABQ=
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解答：（1）证明：在正方形ABCD和正方形AEFG中，
AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∵∠BAE+∠EAD=∠BAD=90°，
∠DAG+∠EAD=∠BAD=90°，
∴∠BAE=∠DAG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴BE=DG；
（2）如图，过点A作AH⊥BE交BE的延长线于H，
∵∠BEA=120°，
∴∠AEH=180°-120°=60°，
∵AE=6
，
∴AH=AE•sin60°=6
×
=3
，
EH=AE•cos60°=6
×
=3
，
在Rt△ABH中，BH=
=
=
=3
，
∴BE=BH-EH=3
-3
；
（3）∵△ABE≌△ADG，
∴∠ABE=∠ADG，
∴∠BQD=∠BAD=90°，
∴点Q的运动轨迹为以BD为直径的
，所对的圆心角是90°，
∵AB=12，
∴BD=
AB=12
，
∴旋转过程中点Q运动的路线长=
=3
π；
（4）由勾股定理得，AF=
AE=
×6
=12，
∵BF=BC=12，
∴AB=AF=BF=12，
∴△ABF是等边三角形，
又∵AE=EF，
∴直线BE是AF的垂直平分线，
∴∠ABQ=
∠BAF=30°，
设BQ与AD相交于H，
则AH=AB•tan30°=12×
=4
，
∴DH=AD-AH=12-4
，
在Rt△DQH中，DQ=DH•cos30°=（12-4
）×
=6
-6．
AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∵∠BAE+∠EAD=∠BAD=90°，
∠DAG+∠EAD=∠BAD=90°，
∴∠BAE=∠DAG，
在△ABE和△ADG中，
|
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴BE=DG；
（2）如图，过点A作AH⊥BE交BE的延长线于H，
∵∠BEA=120°，
∴∠AEH=180°-120°=60°，
∵AE=6
| 2 |
∴AH=AE•sin60°=6
| 2 |
| ||
| 2 |
| 6 |
EH=AE•cos60°=6
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
在Rt△ABH中，BH=
| AB2-AH2 |
122-(3
|
| 90 |
| 10 |
∴BE=BH-EH=3
| 10 |
| 2 |
（3）∵△ABE≌△ADG，
∴∠ABE=∠ADG，
∴∠BQD=∠BAD=90°，
∴点Q的运动轨迹为以BD为直径的
 |
| AD |
∵AB=12，
∴BD=
| 2 |
| 2 |
∴旋转过程中点Q运动的路线长=
90•π•12
| ||
| 360 |
| 2 |
（4）由勾股定理得，AF=
| 2 |
| 2 |
| 2 |
∵BF=BC=12，
∴AB=AF=BF=12，
∴△ABF是等边三角形，
又∵AE=EF，
∴直线BE是AF的垂直平分线，
∴∠ABQ=
| 1 |
| 2 |
设BQ与AD相交于H，
则AH=AB•tan30°=12×
| ||
| 3 |
| 3 |
∴DH=AD-AH=12-4
| 3 |
在Rt△DQH中，DQ=DH•cos30°=（12-4
| 3 |
| ||
| 2 |
| 3 |
点评：本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，综合题，难点较大，（2）作辅助线构造出有一个角是60°的直角三角形是解题的关键，（3）难点在于判断出路线是以BD为直径的弧长的一部分，（4）利用到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上判断出直线BE是AF的垂直平分线是解题的关键．
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