Question

【题目】如图，抛物线与轴交于点和点，并经过点，抛物线的顶点为.将抛物线平移后得到顶点为且对称轴为直线的抛物线．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，是等腰三角形时，点坐标为或或或．

【解析】

（1）根据待定系数法求得抛物线，然后求得点B的坐标，根据题意即可求得抛物线y2的表达式；
（2）由y1==-（x+1）2+2可知C点的坐标为（-1，2），根据勾股定理，设P点的坐标为（1，m），然后分三种情况列出关于m的方程，解方程即可求得．

（1）由于抛物线经过点和点，所以，

解得，抛物线.

当时，，解得，，所以点坐标为，

因为抛物线由抛物线平移得到，且顶点为，

所以抛物线的表达式为.

（2）在直线上存在点，使是等腰三角形.

由于，所以点坐标为，

根据勾股定理，设点坐标为，

分三种情况：

①当时，，解得，此时点坐标为；

②当时，，，此时点坐标为或；

③当时，，解得或（舍去），此时点坐标为.

综上，是等腰三角形时，点坐标为或或或.