Question

如图，直线y=-x+b与双曲线y=

1

x

（x＞0）交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于E、F两点，连接OA、OB，若S_△AOB=S_△OBF+S_△OAE．则：①S_△OBF+S_△OAE=

1

2

S_△OEF；②b=

4

3

3

．

Answer 1

分析：根据直线解析式求出点E、F的坐标，过点O作OM⊥AB于点M，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），联立两函数解析式求解可得y₁=x₂，y₂=x₁，从而判断出点A、B关于OM对称，并求出点A的坐标，然后代入双曲线解析式计算即可得解．

解答：解：①令y=0，则-x+b=0，
解得x=b，
令x=0，则y=b，
所以，点E（b，0）、F（0，b），
所以，OE=OF=b，
∴△OEF是等腰直角三角形，
∴∠OEA=45°，
作AN⊥OE于N，
∴AN=NE，△ANE∽△FOE，
∴

AE

EF

=

EN

OE

．
过点O作OM⊥AB于点M，则ME=MF，
设点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵

y=-x+b y= 1 x

，
消去y得，x²-bx+1=0，
根据根与系数的关系，x₁•x₂=1，
所以y₁•y₂=1，
所以y₁=x₂，y₂=x₁，
所以OA=OB，
所以AM=BM（等腰三角形三线合一），
∵S_△AOB=S_△OBF+S_△OAE，
∴FB=BM=AM=AE，
∴S_△AOE=S_△AOM=S_△MOB=S_△BOF.

AE

EF

=

1

4

．
∴S_△OBF+S_△OAE=

1

2

S_△OEF，
②∵

AE

EF

=

EN

OE

，
∴

EN

OE

=

1

4

，
∴

EN

b

=

1

4

，
∴EN=

1

4

b，
∴AN=

1

4

b，
∴ON=

3

4

b，
∴A（

3

4

b，

1

4

b），
∵点A在双曲线y=

1

x

上，
∴

3

4

b×

1

4

b=1，
解得b=

4

3

3

，
故答案为：

1

2

，

4

3

3

．

点评：本题是一道有关一次函数与反比例函数的交点问题试题，考查了运用反比例函数与一次函数的解析式确定交点，联立两函数解析式求解得到OA=OB，然后根据三角形的面积求出点A、B、M是线段EF的四等分点，并求出点A的坐标是解题的关键．