Question

点A、B、C在⊙O上，且AB=OA，OP⊥BC于P，DB⊥AB交OP于D．
（1）找出图中等于30°的角；（2）求证：OA²=AC•．OD．

Answer 1

分析：（1）先根据AB=OA得到△ABO是正三角形，所以∠ABO是60°．又DB⊥AB交OP于D，所以∠OBP是30°；∠ACB是60°圆心角对的弧所对的圆周角，所以∠ACB是30°；
（2）OP⊥BC于P，∠BOP是弧BC的圆心角的一半，∠BAC是弧BC所对的圆周角，所以∠BAC=∠BOP，所以△ABC与△ODB相似．运用相似性的性质求解．

解答：（1）解：∠OBP=30°；∠ACB=30°，
先根据AB=OA得到△ABO是正三角形，所以∠ABO是60°．又DB⊥AB交OP于D，所以∠OBP是30°；∠ACB是60°圆心角对的弧所对的圆周角，所以∠ACB是30°；

（2）证明：∵OP⊥BC于P，∴∠BOD=

1

2

∠BOC，
∴∠BAC=∠BOD，
在△ABC和△ODB中，

∠BAC=∠BOD ∠ACB=∠OBD

∴△ABC∽△ODB，
∴

AB

OD

=

AC

OB

，
∴AB•OB=AC•OD，
∵AB=OB=OA，
∴OA²=AC•OD．

点评：本题考查圆心角与圆周角的关系和三角形相似的判定与性质，熟练掌握它们的方法和性质对解题很重要．