Question

9、如图，⊙O是△ABC的边BC外的旁切圆，D、E、F分别为⊙O与BC、CA、AB的切点．若OD与EF相交于K，求证：AK平分BC．

Answer 1

分析：过点K作BC的平行线分别交直线AB、AC于Q、P两点，连OP、OQ、OE、OF，由平行线的性质可知OK⊥PQ，O、K、F、Q四点共圆，同理可得O、K、P、E四点共圆，由全等三角形的判定定理可知Rt△OFQ≌Rt△OEP，故可得出结论．

解答：解：证明：如图，过点K作BC的平行线分别交直线AB、AC于Q、P两点，连OP、OQ、OE、OF．
由OD⊥BC，可知OK⊥PQ．
由OF⊥AB，可知O、K、F、Q四点共圆，有∠FOQ=∠FKQ．
由OE⊥AC，可知O、K、P、E四点共圆，有∠EOP=∠EKP．
显然，∠FKQ=∠EKP，可知∠FOQ=∠EOP．
由OF=OE，可知Rt△OFQ≌Rt△OEP，则OQ=OP．
于是，OK为PQ的中垂线，故QK=KP．
所以，AK平分BC．

点评：本题考查的是四点共圆的条件，解答此类题目时应注意适时添加平行线，让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用．