Question

如图：在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，点E是BC上一个动点（点E与B、C不重合），连接A、E．若a、b满足，且c是不等式组的最大整数解．
（1）求a、b、c的长．
（2）若AE平分△ABC的周长，求∠BEA的大小．

Answer 1

解：（1）方程组的解为…（2分）
不等式组的解为：-4≤x＜11 …（4分）
所以c=10． …（5分）

（2）如图，设CE=x，则BE=8-x．
∵AE平分△ABC的周长
∴6+x=10+（8-x）
∴x=6 …（7分）
∴CE=6，BE=2，
又∵AC=6，∠C=90°，
∴△ACE为等腰直角三角形
∴∠AEC=45° …（8分）
∴∠BEA=135° …．（9分）
分析：（1）根据关于a、b的二元一次方程组求得a、b的值；由关于x的不等式组求得x的取值范围-4≤x＜11，从而求得c=10；
（2）设CE=x，则BE=8-x．根据已知条件“AE平分△ABC的周长”列出关于x的一元一次方程，通过解方程求得x=6；然后推知△ACE为等腰直角三角形；最后由等腰直角三角形的性质、外角定理求得∠BEA的大小．
点评：本题综合考查了等腰直角三角形的判定与性质、解二元一次方程组、一元一次不等式组的整数解．解答（2）时，注意充分利用已知条件“AE平分△ABC的周长”．