Question

将两块大小一样含30°角的直角三角板叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，AC与BD相交于点E，连接CD．

（1）如图①，若以AB所在直线为x轴，过A垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，请你求出过A、B、C、D四点的抛物线的解析式；
（2）如图②，保持△ABD不动，将△ABC向x轴的正方向平移到△FGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=x，△FBP面积为y，求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

解：（1）∵在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠BAC=∠DBA=30°，AB=8，
∴A、B、C、D四点的坐标分别是：（0，0）、（8，0）、（6，）、（2，），
设：过A、B、C、D四点的抛物线的解析式为：y=a（x-x₁）（x-x₂），
∵A、B两点坐标为（0，0）、（8，0），
∴解析式为：y=a（x-0）（x-8）=ax（x-8），
∵D点的坐标是：（2，），
∴代入解析式得：=2a（2-8），
解得，
∴解析式为：，
∵C点坐标是（6，），
把x=6代入解析式得：，
∴C点在过A、B、D三点的抛物线上，
∴过A、B、C、D四点的抛物线的解析式是．

（2）如图，
过点P做PM⊥AB垂足为M，
∴∠PMF=90°
在△FHG中，∠GHF=90°，∠GFH=30°，FG=8，
∴HG=4，
∴根据勾股定理得：，
∵∠PMF=∠GHF=90°，∠HFG=∠MFP=30°，
∴△HFG∽△MFP，
∴，
∵∠PFM=∠PBM=30°，
∴PF=PB，
∵PM⊥AB，
∴，
∵AF=x，AB=8，
∴FB=8-x，
∴，
由可知，
.=，
∴，
即：
∴y与x的函数关系式为：．
分析：（1）利用有一角是30°的直角三角形的特性和勾股定理，求出A、B、C、D四点的坐标，利用A、B两点设出两点式解析式，代入C点求出，再代入D点验证，也可代入D点求出，用C点验证；
（2）作PM⊥AB，进一步利用有一角是30°的直角三角形的特性和勾股定理，用x表示出BF，再利用△HFG∽△MFP，用x表示出PM，最后运用三角形的面积求得．
点评：本题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点．