Question

如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax²+x +c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（-3，0），M（0，-1）。已知AM=BC。

（1）求二次函数的解析式；

（2）证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；

（3）在（2）的条件下，设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N。

①若直线l⊥BD，如图1所示，试求的值；

②若l为满足条件的任意直线。如图2所示，①中的结论还成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵二次函数y=ax²+x +c的图象经过点B（-3，0），M（0，-1），

∴  ，解得。

∴二次函数的解析式为：。

（2）证明：在中，令y=0，得，解得x₁=－3，x₂=2。

∴C（2，0），∴BC=5。

令x=0，得y=-1，∴M（0，－1），OM=1。

又AM=BC，∴OA=AM－OM=4。∴A（0，4）。

设AD∥x轴，交抛物线于点D，如图1所示，

则，解得x₁=5，x₂=－6（位于第二象限，舍去）。

∴D点坐标为（5，4）。∴AD=BC=5。

又∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，即在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形。

设直线BD解析式为：y=kx+b，∵B（－3，0），D（5，4），

∴ ，解得：。

∴直线BD解析式为：。

（3）在Rt△AOB中，，

又AD=BC=5，∴▱ABCD是菱形。

①若直线l⊥BD，如图1所示，

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD。∴AC∥直线l。∴。

∵BA=BC=5，∴BP=BQ=10。

∴。

②若l为满足条件的任意直线，如图2所示，此时①中的结论依然成立，理由如下：

∵AD∥BC，CD∥AB，∴△PAD∽△DCQ。∴。

∴AP•CQ=AD•CD=5×5=25。

∴ 

。

【解析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式。

（2）首先求出D点的坐标，可得AD=BC且AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形；再根据B、D点的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式。

（3）本问的关键是判定平行四边形ABCD是菱形。

①推出AC∥直线l，从而根据平行线间的比例线段关系，求出BP、CQ的长度，计算出。

②判定△PAD∽△DCQ，得到AP•CQ=25，利用这个关系式对进行分式的化简求值，结论为 不变。