Question

【题目】如图，点A（m，3）、B（6，n）在双曲线y＝（x＞0）上，直线y＝ax+b经过A、B两点，并与x轴、y轴分别相交手C、D两点，已知S△OAB＝8．

（1）求双曲线y＝的函数表达式；

（2）求△COD的周长；

（3）直接写出不等式-ax＞b的解集．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）12+4；（3）0＜x＜2或x＞6．

【解析】

（1）把A（m，3）、B（6，n）代入双曲线y＝，可得m＝2n，再根据S△OAB＝8，求出m、n，确定点A、B的坐标，进而确定反比例函数的关系式；

（2）求出直线y＝ax+b的关系式，进一步得到一次函数与x轴、y轴的交点坐标，得到OC、OD的长，再利用勾股定理求出CD，可求出三角形的周长；

（3）根据一次函数与反比例函数的图象交点和图象位置直观判断即可．

解：（1）A（m，3）、B（6，n）在双曲线y＝图象上，

∴3m＝6n＝k，

∴m＝2n，

如图，过点A、B分别作AM⊥OC，BN⊥OC，垂足为M、N，

∵S四边形AONB＝S△AOM+S梯形AMNB＝S△AOB+S△BON，S△AOM＝S△BON＝|k|，

∴S梯形AMNB＝S△AOB＝8，

即：（3+n）（6﹣m）＝8，

∴n＝1，m＝2，（负值已舍去）

∴点A（2，3），B（6，1），

∴k＝6，

∴反比例函数表达式为y＝，

（2）把点A（2，3），B（6，1）代入直线y＝ax+b得，

，解得，a＝﹣，b＝4，

∴一次函数的关系式为y＝﹣x+4，

当x＝0时，y＝4，∴点D（0，4），即OD＝4，

当y＝0时，即﹣x+4＝0，解得x＝8，∴点C（8，0），即OC＝8，

∴CD＝＝4，

∴△COD的周长为4+8+4＝12+4；

（3）不等式-ax＞b，就是不等式＞ax+b，

即：反比例函数的值大于一次函数的值时，自变量的取值范围，

由图象可知，0＜x＜2或x＞6，

答：不等式-ax＞b的解集为0＜x＜2或x＞6．