Question

如图，正方形ABCD中，AE=EF=FB，BG=2CG，DE，DF分别交AG于P、Q，以下说法中，不正确的是（　　）

• A、AG⊥FD
• B、AQ：QG=6，7
• C、EP：PD=2：11
• D、S_{四边形GCDQ}：S_{四边形BGQF}=17：9

Answer 1

分析：先用SAS证明两个三角形全等，得到对应的角相等，证明A正确．根据两角对应相等，证明两三角形相似，分别用含a的式子表示AQ和QG，求出它们的比值，证明B正确．用三角形相似，对应线段的比相等，求出EP：PD的值，证明C不正确．分别用含a的式子表示两个四边形的面积，求出它们的比值，证明D正确．

解答：解：A、∵AD=BA，∠DAF=∠ABC=90°，AF=BG=

2

3

BC．
∴△DAF≌△ABG，
∴∠DFA=∠AGB，
∵∠AGB+∠BAG=90°，
∴∠BAG+∠DFA=90°，
∴AG⊥FD．所以A正确．

B、设AE=EF=FB=a，则BG=2a，AG=

13

a．
由A可得：△AFQ∽△AGB，
∴

AQ

AB

=

AF

AG

，AQ=

AB•AF

AG

=

3a•2a

13 a

=

6a

13

．
QG=AG-AQ=

13

a-

6a

13

=

7a

13

．
AQ：QG=

6a

13

：

7a

13

=6：7．所以B正确．

C、如图1：
延长AG，DC相交于H，则△ABG∽△HCG，
设AE=EF=FB=a，BG=2a，GC=a，得到CH=

3a

2

．
又△AEP∽△HDP，
∴

EP

PD

=

AE

HD

=

a

3a+ 3a 2

=2：9．
不是2：11．所以C不正确．

D、如图2：
连接FG，DG．
设AE=EF=FB=a，BG=2a，GC=a，DC=3a，
由△AFQ∽△AGB，得：

FQ

BG

=

AQ

AB

，FQ=

BG•AQ

AB

=

2a• 6a 13

3a

=

4a

13

，
∴DQ=DF-FQ=

13

a-

4a

13

=

9a

13

．
S_{四边形GCDQ}=S_△GCD+S_△GQD=

1

2

GC•CD+

1

2

GQ•QD=

1

2

a•3a+

1

2

•

7a

13

•

9a

13

=

51a2

13

．
S_{四边形BGQF}=S_△FBG+S_△FQG=

1

2

BG•BF+

1

2

FQ•GQ=

1

2

a•2a+

1

2

•

4a

13

•

7a

13

=

27a2

13

．
∴S_{四边形GCDQ}：S_{四边形BGQF}=

51a2

13

：

27a2

13

=17：9．所以D正确．
故选C．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据正方形的性质可以得到三角形全等或相似，然后用全等或相似的性质进行计算或证明，得到正确的判断．