Question

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴的交点分别为A、B，OB=3，，将∠OBA对折，使点O的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交x轴于点C，

（1）求过A、B、C三点的抛物线解析式；

（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四

边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若点Q是抛物线上一个动点，使得以A、B、Q为顶点并且以AB为直角边的直角三角形，直角写出Q点坐标。

Answer 1

（1）∵在Rt△BOA中，OB=3，，

∴OA=4，AB=5，

∴A（4，0），B（0，3）

 设C（），连结CH，如图，由对称性知，CH=OC=，BH=BO=3，∠BHC=∠BOC=90°，

∴AH= AB-BH=2，AC=，

∴在Rt△CHA中，由CH+AH=AC，即得 ，∴C（）

设过A、B、C三点的抛物线的解析式为

将x=0，y=3代入抛物线的解析式，得 ，

∴，

即过A、B、C三点的抛物线的解析式为 ；---4分

（2），

∴抛物线的对称轴为直线，顶点D的坐标为（），

由B（0，3），C（）可求得直线BC的解析式：，

假设存在符合题意的点P，其坐标为（），

要使得四边形ODAP为平行四边形，只能OP∥AD，且OP=AD，

如图，作OP∥AD交直线BC于点P，连结AP，作PM⊥x轴于点M，

记抛物线的对称轴与x轴的交点为G，

∵OP∥AD，

∴∠POM=∠DAG,

又∵∠PMO=∠DGA=90°，OP=AD，

∴△OPM≌△ADG（AAS）

∴OM=AG，PM=DG，