题目内容
如图：在△ABC中，AB=7，AC=6，BC=8，线段BC所在直线以每秒2个单位的速度沿CA方向运动，并始终保持与原位置平行，该直线与AB交于点D，与AC交于点E．记x秒时，该直线在△ABC内的部分长
度为y，
（1）请判断：△ADE与△ABC相似吗？
（2）求出y关于x的函数关系式．并写出自变量x的取值范围；
（3）若△ABC的高AF约为5，过点D作DM⊥BC于点M，过点E作EN⊥BC于点N．
①请用含x的代数式来表示EN．
②设四边形DMNE的面积是S；求出当x取何值时S能取到最大值，并求出最大值．
度为y，（1）请判断：△ADE与△ABC相似吗？
（2）求出y关于x的函数关系式．并写出自变量x的取值范围；
（3）若△ABC的高AF约为5，过点D作DM⊥BC于点M，过点E作EN⊥BC于点N．
①请用含x的代数式来表示EN．
②设四边形DMNE的面积是S；求出当x取何值时S能取到最大值，并求出最大值．
分析：（1）△ADE与△ABC相似，由DE∥BC，即可得△ADE∽△ABC；
（2）设AF交DE于K，由△ADE∽△ABC得到对应边成比例，即
=
，又由AD=AB-BD=7-2x，AB=7，BC=8，即可求得y关于x的函数关系式；
（3）①由题意可知四边形DMNE是矩形，由矩形的性质和相似三角形的性质：对应高之比等于相似比即可用含x的代数式来表示EN；
②因为矩形的面积=长×宽，即DE×EN，由（1）可知DE的长，由①可知EN的长，进而求出S的值，再根据二次函数的性质即可求出当x取何值时S能取到最大值，并求出最大值．
（2）设AF交DE于K，由△ADE∽△ABC得到对应边成比例，即
| AD |
| AB |
| DE |
| BC |
（3）①由题意可知四边形DMNE是矩形，由矩形的性质和相似三角形的性质：对应高之比等于相似比即可用含x的代数式来表示EN；
②因为矩形的面积=长×宽，即DE×EN，由（1）可知DE的长，由①可知EN的长，进而求出S的值，再根据二次函数的性质即可求出当x取何值时S能取到最大值，并求出最大值．
解答：解：（1）△ADE与△ABC相似，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC；
（2）∵△ADE∽△ABC，
∴
=
，
∵BD=2x，
∴AD=AB-BD=7-2x，
∵AB=7，BC=8，
∴
=
，
解得：y=-
x+8（0＜x＜3.5）．
答：y关于x的函数关系式为：y=-
+8（0＜x＜3.5）；
（3）①设AF交DE于K，
∵D作DM⊥BC于点M，点E作EN⊥BC于点N，DE∥BC，
∴四边形DMNE是矩形，
∵AF⊥BC，
∴四边形KFEN是矩形，
∴EN=KF，
∵△ADE∽△ABC，
∴
=
，
∴
=
，
解得：EN=
x；
②∵四边形DMNE的面积S=DE×EN=（-
x+8）•
x=-
x2+
x，
∴S是x的二次函数，
∴当x=-
=
时，函数有最大值为10．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC；
（2）∵△ADE∽△ABC，
∴
| AD |
| AB |
| DE |
| BC |
∵BD=2x，
∴AD=AB-BD=7-2x，
∵AB=7，BC=8，
∴
| 7-2x |
| 7 |
| y |
| 8 |
解得：y=-
| 16 |
| 7 |
答：y关于x的函数关系式为：y=-
| 16 |
| 7 |
（3）①设AF交DE于K，
∵D作DM⊥BC于点M，点E作EN⊥BC于点N，DE∥BC，
∴四边形DMNE是矩形，
∵AF⊥BC，
∴四边形KFEN是矩形，
∴EN=KF，
∵△ADE∽△ABC，
∴
| AK |
| AF |
| DE |
| BC |
∴
| 5-EN |
| 5 |
-
| ||
| 8 |
解得：EN=
| 10 |
| 7 |
②∵四边形DMNE的面积S=DE×EN=（-
| 16 |
| 7 |
| 10 |
| 7 |
| 160 |
| 49 |
| 80 |
| 7 |
∴S是x的二次函数，
∴当x=-
| b |
| 2a |
| 7 |
| 4 |
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定和性质以及矩形的面积和二次函数的性质，此题难度适中，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用是解此题的关键．
练习册系列答案
小学教材全测系列答案
相关题目
20、如图，在△ABC中，∠BAC=45°，现将△ABC绕点A逆时针旋转30°至△ADE的位置，使AC⊥DE，则∠B=
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，取斜边的中点，向斜边作垂线，画出一个新的等腰三角形，如此继续下去，直到所画出的直角三角形的斜边与△ABC的BC重叠，这时这个三角形的斜边为
2、如图，在△ABC中，DE∥BC，那么图中与∠1相等的角是（ ）
如图，在△ABC中，AB=AC，且∠A=100°，∠B=