Question

已知，，是的平分线，点P在上，．将三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，CB交于点E，另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G．
（1）如图9，当点F在射线CA上时，①求证： PF = PE．②设CF= x，EG=y，求y与x的函数解析式并写出函数的定义域．
（2）联结EF，当△CEF与△EGP相似时，求EG的长．
                                 

Answer 1

（1） ①证明：过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分别为M、N．
∵ 是 的平分线，
∴PM=PN．
由 ，
得 ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴△PMF≌△PNE．
∴PF=PE．

②解：
∵ ，
∴ ．
∵△PMF≌△PNE，
∴ ．
∴ ．
∵CF∥PN，
∴ ．
∴ ．
∴ （0≤x＜1）．

（2）当△CEF与△EGP相似时，点F的位置有两种情况：
①当点F在射线CA上时，
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
在Rt△EGP中， ．
 

②当点F在AC延长线上时，
∵ ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
易证 ，
可得 ．
∴ ．
∴ ．
易证△PMF≌△PNE，
可得 ．
∵CF∥PN，
∴ ．
∴．
∴ ．