Question

如图，在△ABC中，AB=BC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB，BC，CA分别相切于点D、E、F．
（1）求证：BE=CE；
（2）若∠A=90°，AB=AC=2，求⊙O的半径．

Answer 1

解法一：（1）证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F
∴AD=AF，BD=BE，CE=CF，
∵AB=AC，
∴AB-AD=AC-AF，
即BD=CF，
∴BE=CE；
解法二：
（1）证明：连结OB、OC、OE
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
又∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为E，
∴OE⊥BC，
∴BE=CE；

（2）解：连结OD、OE，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，
∴∠ODA=∠OFA=∠A=90°，
又∵OD=OF，
∴四边形ODAF是正方形，
设OD=AD=AF=r，
则BE=BD=CF=CE=2-r，
在△ABC中，∠A=90°，
∴，
又∵BC=BE+CE，
∴（2-r）+（2-r）=，
得：r=，
∴⊙O的半径是．
分析：（1）利用切线长定理得出AD=AF，BD=BE，CE=CF，进而得出BD=CF，即可得出答案；
（2）首先连结OD、OE，进而利用切线的性质得出∠ODA=∠OFA=∠A=90°，进而得出四边形ODAF是正方形，再利用勾股定理求出⊙O的半径．
点评：此题主要考查了正方形的判定以及切线的性质定理和勾股定理等知识，根据已知得出四边形ODAF是正方形是解题关键．