Question

n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l是3个完全平方数之和．

Answer 1

分析：此题可以由3n+1为完全平方数得到3n+1=m²，则m=3k+1或3k+2，再得到n的值，代入n+1经变形即可证为3个完全平方数之和．

解答：证明：设3n+1=m²，则m=3k+1或m=3k+2（k是正整数）．
若m=3k+1，则n=

m2-1

3

=3k2+2k．
∴n+1=3k²+2k+1=k²+k²+（k+1）²．
若m=3k+2，则n=

m2-1

3

=3k2+4k+1
∴n+1=3k²+4k+2=k²+（k+1）²+（k+1）²．
故n+1是3个完全平方数之和．

点评：本题考查了完全平方数的应用，关键是对n的取值的讨论，比较麻烦，同学们应重点掌握．