Question

如图，正方形ABCD，点E在CD上，点F在AD上，BG⊥EF于G，且BG=AD，连BF、BE，
①求∠EBF度数；
②延长AG交BE的延长线于H点，求的值；
③若，且正方形边长为3，则BH=________．

Answer 1

9
分析：（1）由正方形的性质和已知条件可得到∠EBF=∠ABC，又因为∠ABC是正方形的一个内角，所以∠ABC=90°，进而求出∠EBF度数；
（2）设BF交AG于点Q，通过证明△ABQ∽△DBH，由相似三角形的性质即可得到==，进而得到=；
（3）设BE交CG于点M，由已知条件和勾股定理可求出BE，由射影定理可求出BM的长，由△ABQ∽△DBH，得BH=BQ=BM=9．
解答：（1）∵正方形ABCD，点E在CD上，点F在AD上，BG⊥EF于G，且BG=AD，
∴BG=BC=AD=BA，∠BAF=∠BGF=∠BCE=90°
∴BF平分∠AFG，BE平分∠GEC，
∴BF平分∠ABG，BE平分∠GBC．
∴∠ABF=∠FBG，∠GBE=∠EBC，
∴∠EBF=∠ABC=45°；

（2）设BF交AG于点Q，连接BD，DH，
∵∠ABD=45°，
∴∠ABF+∠FBD=45°，
∵∠EBF=45°，
∴∠DBH+∠FBD=45°，
∴∠ABF=∠DBH，
∵∠AQB=∠DHB=90°，
∴△ABQ∽△DBH，
∴==
∴=；

（3）设BE交CG于点M，
∵，DC=3，
∴CE=，DE=2，
∴BE==10，
∵BC²=BM•BE，
∴90=BM×10，
∴BM=9，
由△ABQ∽△DBH，
得BH=BQ=BM=9．
故答案为：9．
点评：此题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质，题目的综合性很强，难度不小．