Question

如图，在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝16 cm，DE＝4 cm.动线段DE(端点D从点B开始)沿BC边以1 cm/s的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止．过点E作EF∥AC交AB于点F(当点E与点C重合时，EF与CA重合)，连接DF，设运动的时间为t秒(t≥0)．

(1) 直接写出用含t的代数式表示线段BE、EF的长；

(2) 在这个运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；

(3) 设M、N分别是DF、EF的中点，求整个运动过程中，MN所扫过的面积．

Answer 1

解　(1) BE＝(t＋4) cm，EF＝(t＋4) cm.

(2)分三种情况讨论：

① 当DF＝EF时，有∠EDF＝∠DEF＝∠B，

∴ 点B与点D重合，∴ t＝0. 

② 当DE＝EF时，∴4＝(t＋4)，

解得：t＝.

③当DE＝DF时，

有∠DFE＝∠DEF＝∠B＝∠C，

∴△DEF∽△ABC.∴＝，

即＝，解得：t＝. 

综上所述，当t＝0、或秒时，

△DEF为等腰三角形．

(3)设P是AC的中点，连接BP，∵EF∥AC，

∴△FBE∽△ABC.∴＝，

∴＝.

又∠BEN＝∠C，

∴△NBE∽△PBC，

∴∠NBE＝∠PBC.∴点N沿直线BP运动，MN也随之平移．

如图，设MN从ST位置运动到PQ位置，则四边形PQST是平行四边形．

∵M、N分别是DF、EF的中点，

∴MN∥DE，且ST＝MN＝DE＝2.

分别过点T、P作TK⊥BC，垂足为K，PL⊥BC，垂足为L，延长ST交PL于点R，则四边形TKLR是矩形，

当t＝0时，EF＝(0＋4)＝，

TK＝EF·sin∠DEF＝××＝；

当t＝12时，EF＝AC＝10，

PL＝AC·sin C＝×10×＝3.  

∴PR＝PL－RL＝PL－TK＝3－＝.

∴S_▱PQST＝ST·PR＝2×＝.

∴整个运动过程中，MN所扫过的面积为 cm^2­­.