Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（-3，0）和点B（1，0）．设抛物线与y轴的交点为点C．
（1）直接写出该抛物线的对称轴；
（2）求OC的长（用含a的代数式表示）；
（3）若∠ACB的度数不小于90°，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（-3，0）和点B（1，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=-1；

（2）把A（-3，0）和B（1，0）分别代入y=ax²+bx+c（a≠0）得：
，
解得：c=-3a，
∴OC=3|a|；

（3）当∠ACB=90°时，
∵∠OAC+∠OCA=90°，∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠OAC=∠OCB，
又∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴OC²=OB•OA=3，
∴CO=，
∴c=±，
①a＞0时，c＜0，
∵∠ACB不小于90°，c=-3a，
∴-≤c＜0，
∵c=-3a，
∴-≤-3a＜0，
∴0＜a≤；
②a＜0时，c＞0，
∵∠ACB不小于90°，
∴0＜c≤，
∵c=-3a，
∴-≤a＜0．
综上所述可知：0＜a≤或-≤a＜0．
分析：（1）根据抛物线的对称性，结合抛物线所过的点A（-3，0）和点B（1，0）可直接得到对称轴；
（2）把A（-3，0）和B（1，0）分别代入y=ax²+bx+c（a≠0）中可得c=-3a，则OC的长为3|a|；
（3）根据当∠ACB=90°时，求出c的值，进而根据①a＞0时，c＜0，以及②a＜0时，c＞0求出a的取值范围即可．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及二次函数的性质，根据已知得出当∠ACB=90°时，c的值进而得出a的取值范围是解题关键．