Question

已知：在四边形ABCD中，AB=4cm，点E、F、G、H分别按A→B，B→C，C→D，D→A的方向同时出发，以1cm/秒的速度匀速运动，在运动过程中，设四边形EFGH的面积为S cm²，运动时间为t秒（0≤t≤4）．
（1）当四边形ABCD为正方形时，如图1所示，
①求证：四边形EFGH是正方形；
②在某一时刻，把图1的四个直角三角形剪下来，拼成如图所示的正方形A₁B₁C₁D₁，且它的面积为10cm²．求中间正方形E₁F₁G₁H₁的面积．
（2）当四边形ABCD为菱形，且∠A=30°时，如图3所示．在运动过程中，四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）①根据题意，易得AE=BF=CG=DH，又由四边形ABCD是正方形，可得∠A=∠B=90°，AB=DA，进而可得四边形EFGH是菱形，又由∠BEF+∠BFE=90°，∠AEH=∠BFE可得∠FEH=90°，可证四边形EFGH是正方形；
②由正方形ABCD的边长为4cm，求出其面积，再由正方形A₁B₁C₁D₁的面积求出其边长，得到HE的长，求出正方形EFGH的面积，由正方形ABCD面积-正方形EFGH面积求出四个直角三角形的面积，由正方形A₁B₁C₁D₁的面积-四个直角三角形的面积即可得到中间正方形E₁F₁G₁H₁的面积；
（2）根据题意，易证△AEH≌△CGF，△EBF≌△GDH，作HM⊥AE于M，作FN⊥EB，交EB的延长线于N，设运动t秒后，四边形EFGH的面积S取最小值，则AE=t，AH=4-t，又在Rt△AMH中，∠HAM=30°，可得HM与AH的关系，四边形EFGH的面积与t的关系，其关系式为二次函数，由二次函数的性质，易得答案．

解答：解：（1）①∵点E，F，G，H在四条边上的运动速度相同，
∴AE=BF=CG=DH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=DA，
∴EB=HA，
在△AEH和△BFE中，

AE=BF ∠A=∠B=90° HA=EB

，
∴△AEH≌△BFE（SAS），
∴EH=FE（全等三角形的对应边相等），
同理可得：EH=FE=GF=HG，
∴四边形EFGH是菱形，
又∵∠BEF+∠BFE=90°，∠AEH=∠BFE，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠FEH=90°，
∴四边形EFGH为正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）；
②∵正方形ABCD边长为4cm，正方形A₁B₁C₁D₁的面积为10cm²，
∴S_{正方形ABCD}=16cm²，正方形A₁B₁C₁D₁的边长为

10

cm，即HE=

10

cm，
∴S_{正方形EFGH}=10cm²，
∴S_{四个直角三角形}=16-10=6cm²，
则正方形E₁F₁G₁H₁的面积S=10-6=4cm²；
（2）四边形EFGH的面积存在最小值，理由如下：
由条件，易证△AEH≌△CGF，△EBF≌△GDH，
作HM⊥AE于M，作FN⊥EB，交EB的延长线于N，
设运动t秒后，四边形EFGH的面积S取最小值，则AE=t，AH=4-t，
又在Rt△AMH中，∠HAM=30°，
∴HM=

1

2

AH=

1

2

（4-t），
同理可得FN=

1

2

BF=

1

2

t，
故S_△AEH=

1

2

AE•HM=

1

4

t（4-t），S_△EBF=

1

2

EB•FN=

1

4

t（4-t），
又S_{正方形ABCD}=4×2=8，
∴四边形EFGH的面积S=8-4•

1

4

t（4-t）=t²-4t+8=（t-2）²+4，
当t=2秒时，四边形EFGH的面积取最小值等于4cm²．

点评：此题属于四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，二次函数的性质，含30度角三角形的面积，以及菱形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．