Question

如图?ABCD的对角线AC的垂直平分线与两边AB、CD的延长线分别相交于E、F，求证：四边形AECF为菱形．

Answer 1

分析：根据平行四边形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行可得∠E=∠F，然后利用“角角边”证明△AOE和△COF全等，然后根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明．

解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠E=∠F，
在△AOE和△COF中，
∵

∠E=∠F ∠EOA=∠COF OA=OC

，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，
即AC与EF互相垂直平分，
∴四边形AECF为菱形．

点评：本题考查了菱形的判定，线段垂直平分线上的性质，平行四边形的性质，熟记性质与判定并证明三角形全等得到OE=OF是解题的关键．