Question

如果△ABM和△ACN分别是以△ABC的边AB、AC为边的形外等边三角形，MC交BN于P，连PA，则∠APN=

 

．

Answer 1

分析：根据等边三角形的三条边相等，每个角都是直角可以证明△ABN与△AMC全等，根据全等三角形对应角相等可以得到∠ANP=∠ACP，然后证明△ANE与△PCE相似，根据相似三角形对应边成比例可得

AE

PE

=

NE

CE

，从而得到△APE与△NCE相似，再根据相似三角形对应角相等的性质即可证明∠APN=∠ACN=60°．

解答：解：∵△ABM和△ACN都是等边三角形，
∴AB=AM，AN=AC，∠BAM=∠CAN=60°，
∴∠BAM+∠BAC=∠CAN+∠BAC，
即∠CAM=∠BAN，
在△ABN与△AMC中，

AB=AM ∠CAM=∠BAN AC=AN

，
∴△ABN≌△AMC（SAS），
∴∠ANP=∠ACP，
又∵∠AEN=∠PEC（对顶角相等），
∴△ANE∽△PCE，
∴

AE

PE

=

NE

CE

，
∵∠AEP=∠NEC（对顶角相等），
∴△APE∽△NCE，
∴∠APN=∠ACN=60°．
故答案为：60°．

点评：本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，判定相似三角形是解题的关键，也是解决本题的难点．