Question

（2012•徐汇区一模）如图，△AOB的顶点A、B在二次函数y=-

1

3

x2+bx+

3

2

的图象上，又点A、B分别在y轴和x轴上，tan∠ABO=1．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）过点A作AC∥BO交上述函数图象于点C，点P在上述函数图象上，当△POC与△ABO相似时，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）首先根据函数解析式求出A的坐标，然后得到AO的长度，接着利用三角函数的定义求出BO的长度，也就得到B的坐标，最后代入解析式即可求出函数的解析式；
（2））首先由AC∥BO交上述函数图象于点C可以求出C的坐标，接着得到AC、AO、OC的长度，由此也可以求出b的值，根据抛物线的对称性可以求出抛物线与x轴的另一交点为D的坐标，从而得到CD的长度，接着利用勾股定理的逆定理证明∠OCD=90°，易得Rt△OCA∽Rt△ABO，Rt△ODC∽Rt△ABO，求出P的坐标．

解答：解：（1）∵点A在二次函数y=-

1

3

x2+bx+

3

2

的图象上，A(0，

3

2

)…（1分）
在Rt△AOB中，∠AOB=90°
∵tan∠ABO=

AO

BO

=1，
∵BO=AO=

3

2

，
∴B(-

3

2

，0)…（1分）
∵点B在二次函数y=-

1

3

x2+bx+

3

2

的图象上
∴-

1

3

×(-

3

2

)2-

3

2

b+

3

2

=0
∴b=

1

2

…（1分）
∴y=-

1

3

x2+

1

2

x+

3

2

…（1分）

（2）∵AC∥BO交上述函数图象于点C，
∴设C(x，

3

2

)…（1分）
∴-

1

3

x2+

1

2

x+

3

2

=

3

2

，
解得x1=0，x2=

3

2

，
∵C(

3

2

，

3

2

)…（1分）
∴AC=AO=

3

2

，
根据勾股定理得：OC=

3

2

2

，
设抛物线y=-

1

3

x2+

1

2

x+

3

2

与x轴的另一交点为D，
可得，D（3，0）…（1分）
∴根据两点间的距离公式得：CD=

(3- 3 2 )2+(0- 3 2 )2

=

3

2

2

，又OD=3，OC=

3

2

2

，
∴OC²+CD²=OD²，∴∠OCD=90°…（1分）
易得，Rt△OCA∽Rt△ABO，Rt△ODC∽Rt△ABO…（2分）
此时D，P重合，A与P重合，
∴P(0，

3

2

)或P（3，0）…（2分）．

点评：此题是二次函数的综合题，分别考查了待定系数法确定函数解析式、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，对于学生综合分析问题的能力要求比较高，平时要加强训练．