Question

【题目】已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB中点，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点C作AB的平行线，交DF的延长线于点E，连接CD，AE．

（1）求证：四边形AECD是菱形；

（2）当∠BAC的大小满足什么条件时，四边形AECD是正方形？证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）当∠BAC=45°时，四边形AECD是正方形；理由见解析

【解析】

试题分析：（1）由ASA证明△CEF≌△ADF，得出对应边相等EF=DF，证出四边形AECD是平行四边形，再由对角线互相垂直，即可得出四边形AECD是菱形；

（2）由菱形的性质得出∠EAC=∠BAC=45°，得出∠EAD=90°，即可得出四边形AECD是正方形．

（1）证明：∵∠ACB=90°，DF⊥AC，

∴DF∥BC，∵点D是AB中点，

∴F是AC的中点，

∴AF=CF，

∵CE∥AB，

∴∠ECF=∠DAF，

在△CEF和△ADF中，

，

∴△CEF≌△ADF（ASA），

∴EF=DF，

∴四边形AECD是平行四边形，

又∵DF⊥AC，

∴四边形AECD是菱形；

（2）解：当∠BAC=45°时，四边形AECD是正方形；理由如下：

∵四边形AECD是菱形，

∴∠EAC=∠BAC=45°，

∴∠EAD=90°，

∴四边形AECD是正方形．