Question

已知：二次函数的图象与轴交于两点(点在点的左侧)，与轴交于点对称轴是直线且图象向右平移一个单位后经过坐标原点

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)直线交轴于点，为抛物线顶点.若求的值.

(3)在(2)问的前提下，为抛物线对称轴上一点，且满足在轴右侧的抛物线上是否存在点使得的面积等于若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：(1)由题意，

对称轴是直线

∴……………………………………………………………………1分

把，分别代入得……………2分

解得

       ∴这个二次函数的解析式为………………………………3分

(2)直线与轴交于，∴

由得

连接过作轴于(如图1)，则

抛物线与轴交于

∴

∴

,

∴

_{[来源:Zxxk.Com]}

∴

∴……

∴

∴

(3)设

`     

∴ 即

解得

∴

∴ ………………………………8分

法一：设存在符合条件的点则

①当在直线上侧时，连接(如图1)，

则

即

整理，得

解得(舍去)，

把代入得

∴……………………………………10分

②当在直线下侧时，不妨叫连接(如图1)，

则

即

整理，得

解得(舍去)

把代入得

∴

综上所述，存在符合条件的点其坐标为或.

………………………………………………………………12分

法二：设存在符合条件的点则

①当在直线上侧时，过作轴，

交于(如图2)

设到距离分别为则

即

整理，得

解得(舍去)，

把代入得

∴……………………………………10分

②当在直线下侧时，不妨叫过作轴，交于(如图2)

设到距离分别为则

即

整理，得

解得(舍去)

把代入得

∴

综上所述，存在符合条件的点其坐标为或.…………12分

法三：①当在直线上侧时，过作交轴于连接(如图3)

则,即

∴

∴

∴直线解析式为

联立得或

在轴右侧, ∴坐标为

…………………………………………10分

②当在直线下侧时，不妨叫过作，交轴于

连接(如图3)，同理可得

∴

∴直线解析式为

联立得或

在轴右侧，∴坐标为

综上所述，存在符合条件的点其坐标为或.