Question

【题目】已知：在平面直角坐标系中，点，点.

（1）在图①中的轴上求作点，使得的值最小；

（2）若是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标；

（3）如图②，在中，，，点（不与点重合）是轴上一个动点，点是中点，连结，把绕着点顺时针旋转得到（即，），连结、、，试猜想的度数，并给出证明.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2），，，；（3）45°，见解析

【解析】

（1）作出点B关于y轴对称的点B1，连接AB1交y轴于点P，则P点即为所求；

（2）分别作出以AB为腰的等腰直角三角形，运用全等三角形的判定与性质求出点C的坐标即可；

（3）分点D运动到点A的右侧和左侧两种情形进行求解：①当点运动到点右侧时,如图,延长至,使,连结,,，首先证明≌即可证明是等腰直角三角形，进而证明≌可得，，从而可得结论；②当点运动到点左侧时，同理可得.

（1）如图所示，

(2) 如图1，过点B作BD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥BD于点E,

∵∠ABC=90°,

∴∠ABD+∠CBE=90°，

∵∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠BAD=∠CBE，

在△BAD和△CBE中，

∴△BAD≌△CBE，

∴BE=AD，CE=BD，

∵A（-3，0），B（-2，3），

∴AD=1，BD=3，OD=2，

∴BE=1，DE=2，

∴C（1，2）

如图2，

易证△BAD≌△ACO，

∴OC=AD=1，

∴C（0，-1）；

如图3，

易证△BAD≌△BCF，

∴CF=AD=1，BF=ED=BD=3

∴CE=4，EO=5

∴C（-5，4）；

如图4，

易证△BAD≌△CAE，

∴CE=AD=1，AE= BD=3

∴EO=6

∴C（-6，1）；

故点C的坐标为：,,,

(3)猜想

①当点运动到点右侧时,

如图,延长至,使,连结,,

在和中

∵,,

∴≌()

∴,

∵

∴

∵,

∴是等腰直角三角形

∴,,

∵

∴,

即

∴

在和中

∵,,

∴≌()

∴,

∵

∴

∵

∴

∵

∴

∵

∴是等腰直角三角形,

②当点运动到点左侧时,同理可证,

综上所述,