Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=

1

3

CD，E是AB上一点，AE=2BE，M是腰BC的中点，连接EM并延长交DC的延长线于点F，连接DB交EF于点N．
求证：BN：ND=1：10．

Answer 1

分析：由平行线的性质知，∠F=∠BEM，由M是腰BC的中点知BM=CM，故可由AAS证得△FCM≌△EBM，得出BE=FC，进而得到BE与FD的关系，由BE∥FD，可得△BNE∽△DNF，则BN：ND=BE：FD，代入BE，FD的值即可得BN：ND的值．

解答：证明：设EB=a，则AE=2a，AB=3a，CD=9a．（1分）
∵AB∥CD，
∴∠F=∠BEM，
∵M为BC的中点，
∴BM=CM，又∠FMC=∠EMB，
在△FCM和△EBM中
∵

∠BEM=∠F ∠EMB=∠CMF BM=CM

，
∴△FCM≌△EBM（AAS），（4分）
∴BE=FC=a，
∴FD=FC+CD=10a．（5分）
∵BE∥FD，
∴△BNE∽△DNF，（6分）
∴

BN

ND

=

BE

FD

=

a

10a

=

1

10

．（7分）

点评：本题利用了平行线的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质求解．对于含有两线段成比例的题，常常通过设参数来达到简化计算的目的．