题目内容

如图，正方形ABCE的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，且△CMN的周长为2，则△MAN的面积的最小值为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

A
分析：如图，延长CB至L，使BL=DN，则Rt△ABL≌Rt△AND，故AL=AN，进而求证△AMN≌△AML，即可求得∠MAN=∠MAL=45°设CM=x，CN=y，MN=z，根据x²+y²=z²，和x+y+z=2，整理根据△=4（z-2）²-32（1-z）≥0可以解题．
解答：延长CB至L，使BL=DN，
则Rt△ABL≌Rt△AND，

故AL=AN，
∴△AMN≌△AML，
∴∠MAN=∠MAL=45°，
设CM=x，CN=y，MN=z
x²+y²=z²，
∵x+y+z=2，
则x=2-y-z
∴（2-y-z）²+y²=z²，
整理得2y²+（2z-4）y+（4-4z）=0，
∴△=4（z-2）²-32（1-z）≥0，
即（z+2+2 $\text{[math]}$ ）（z+2-2 $\text{[math]}$ ）≥0，
又∵z＞0，
∴z≥2 $\text{[math]}$ -2，当且仅当x=y=2- $\text{[math]}$ 时等号成立
此时S_△AMN=S_△AML= $\text{[math]}$ ML•AB= $\text{[math]}$ z
因此，当z=2 $\text{[math]}$ -2，x=y=2- $\text{[math]}$ 时，S_△AMN取到最小值为 $\text{[math]}$ -1．
故选A．
点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了正方形各边长相等，各内角为直角的性质，本题中求证△AMN≌△AML是解题的关键．