题目内容
14、如图，已知△ABC中，∠BAC=120°，P为△ABC内一点．求证：PA+PB+PC＞AB+AC．
分析：作辅助线延长BA到D使AD=AC，连接DC，易证明△ADC是等边三角形，△CEP也是等边三角形，由此可得．
解答：
证明：延长BA到D使AD=AC，连接DC，作∠DCE=∠ACP，且CE=CP，连接DE、EP
易证△ADC是等边三角形，△DCE≌△ACP
∴AC=CD=AD，
∴∠ECP=∠DCA-∠DCE+∠ACP=60°
又CE=CP，∴△CEP是等边三角形，
∴CP=EP，
可得：PA+PB+PC=DE+PE+PB＞DA+AB，
∴PA+PB+PC＞AC+AB．
证明：延长BA到D使AD=AC，连接DC，作∠DCE=∠ACP，且CE=CP，连接DE、EP易证△ADC是等边三角形，△DCE≌△ACP
∴AC=CD=AD，
∴∠ECP=∠DCA-∠DCE+∠ACP=60°
又CE=CP，∴△CEP是等边三角形，
∴CP=EP，
可得：PA+PB+PC=DE+PE+PB＞DA+AB，
∴PA+PB+PC＞AC+AB．
点评：本题考查了等边三角形的判断与性质，难度适中，关键是根据题意巧妙地作出辅助线．
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