Question

如图，△ABC中，AB=5，BC=6，BD=

1

3

BC，AD⊥BC于D，E为AB延长线上的一点，且EC交AD的延长线于F．
（1）设BE为x，DF为y，试用x的式子表示y．
（2）当∠ACE=90°时，求此时x的值．

Answer 1

分析：（1）过B作BG∥AF交BCEC于G，则可以得到△CDF∽△CBG，接着利用相似三角形的性质得到BG=

3

2

DF=

3

2

y，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得AD=

21

，又△EGB∽△EFA，由此利用相似三角形的性质即可求出y与x的函数关系；
（2）当∠ACE=90°时，则有∠FCD=∠DAC，由此得到Rt△ADC∽Rt△CDF，接着利用相似三角形的性质得到CD²=AD•DF，所以16=

21

•y，从而得到y=

16

21

，代入y=

2 21 x

x+15

，即可求出x．

解答：解：（1）过B作BG∥AF交EC于G，
则△CDF∽△CBG，
∴

DF

BG

=

2 3 BC

BC

，
∴BG=

3

2

DF=

3

2

y，
在Rt△ABD中，可得AD=

21

，
又∵△EGB∽△EFA，
∴

3 2 y

21 +y

=

x

x+5

，
∴y=

2 21 x

x+15

；

（2）当∠ACE=90°时，则有∠FCD=∠DAC，
∴Rt△ADC∽Rt△CDF，
∴

CD

AD

=

DF

CD

，
∴CD²=AD•DF，
∴16=

21

•y，
∴y=

16

21

，
代入y=

2 21 x

x+15

，有

16

21

=

2 21 x

x+15

，
解得x=

120

13

．

点评：此题主要考查了相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练利用相似三角形的判定与性质．