Question

【题目】如图，等边边长为，点是的内心，，绕点旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：①形状不变；②的面积最小不会小于四边形的面积的四分之一；③四边形的面积始终不变；④周长的最小值为．上述结论中正确的个数是（ ）

A.4B.3C.2D.1

Answer 1

【答案】A

【解析】

连接OB、OC，利用SAS证出△ODB≌△OEC，从而得出△ODE是顶角为120°的等腰三角形，即可判断①；过点O作OH⊥DE，则DH=EH，利用锐角三角函数可得OH=OE和DE=OE，然后三角形的面积公式可得S△ODE=OE2，从而得出OE最小时，S△ODE最小，根据垂线段最短即可求出S△ODE的最小值，然后证出S四边形ODBE=S△OBC=即可判断②和③；求出的周长=a＋DE，求出DE的最小值即可判断④．

解：连接OB、OC

∵是等边三角形，点是的内心，

∴∠ABC=∠ACB=60°，BO=CO，BO、CO平分∠ABC和∠ACB

∴∠OBA=∠OBC=∠ABC=30°，∠OCA=∠OCB=∠ACB=30°

∴∠OBA=∠OCB，∠BOC=180°－∠OBC－∠OCB=120°

∵

∴∠BOC

∴∠FOG－∠BOE=∠BOC－∠BOE

∴∠BOD=∠COE

在△ODB和△OEC中

∴△ODB≌△OEC

∴OD=OE

∴△ODE是顶角为120°的等腰三角形，

∴形状不变，故①正确；

过点O作OH⊥DE，则DH=EH

∵△ODE是顶角为120°的等腰三角形

∴∠ODE=∠OED=（180°－120°）=30°

∴OH=OE·sin∠OED=OE，EH= OE·cos∠OED=OE

∴DE=2EH=OE

∴S△ODE=DE·OH=OE2

∴OE最小时，S△ODE最小，

过点O作OE′⊥BC于E′，根据垂线段最短，OE′即为OE的最小值

∴BE′=BC=

在Rt△OBE′中

OE′=BE′·tan∠OBE′=×=

∴S△ODE的最小值为OE′2=

∵△ODB≌△OEC

∴S四边形ODBE=S△ODB＋S△OBE= S△OEC＋S△OBE=S△OBC=BC·OE′=

∵=×

∴S△ODE≤S四边形ODBE

即的面积最小不会小于四边形的面积的四分之一，故②正确；

∵S四边形ODBE=

∴四边形的面积始终不变，故③正确；

∵△ODB≌△OEC

∴DB=EC

∴的周长=DB＋BE＋DE= EC＋BE＋DE=BC＋DE=a＋DE

∴DE最小时的周长最小

∵DE=OE

∴OE最小时，DE最小

而OE的最小值为OE′=

∴DE的最小值为×=

∴的周长的最小值为a＋=，故④正确；

综上：4个结论都正确，

故选A．