Question

如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，
 
【小题1】求证：四边形CFDE是正方形
【小题2】若AC＝3，BC＝4，求△ABC的内切圆半径.

Answer 1

【小题1】过D作DG⊥AB交AB于G点，
∵AD是∠BAC的角平分线
∴∠FAD=∠BAD
∵DF⊥AC,DG⊥AB
∴∠AFD=∠AGD=90°
∵AD=AD
∴△AFD≌△AGD
∴DF=DG
同理可证DE=DG
∴DE=DF
∵∠C=∠CFD=∠CED=90°
∴四边形CFDE是正方形.   （5分）
【小题2】∵AC＝3，BC＝4
∴AB=5
由（1）知AF=AG,BE=BG
∴AF+BE=AB
∵四边形CFDE是正方形∴2CE=AC+CB-AB=2，即CE=1
△ABC的内切圆半径为1.      （10分）解析:
（1）利用角平分线的性质证明出FD=ED，然后利用三个垂直证明四边形CFDE是正方形；
（2）考查勾股定理和内切圆的圆心是解平分线的交点的性质来求解。