Question

如图，在四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AE=

1

3

AB，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）已知点P是四边形ABCD边上的一个动点．
①若点P从B点出发，沿BC→CD→DA运动至A点停止．当△BEP为等腰三角形时，符合要求的点P有

4

个．
②若点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC方向运动至A点停止．设运动时间为t s，试求：当t等于多少时，△BEP为等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）通过全等三角形△ABC≌△CDA的对应边相等推知AB=DC；然后由平行线的判定知AB∥DC，则由“由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得结论；
（2）求出AC，当P在BC上时，①BP=EB=2，②BP=PE，作PM⊥AB于M，根据cosB求出BP，③BE=PE=2cm，作EN⊥BC于N，根据cosB求出BN；当P在CD上不能得出等腰三角形；当P在AD上时，过P作PN⊥BA于N，证△QAP∽△ABC，推出PQ：AQ：AP=4：3：5，设PQ=4xcm，AQ=3xcm，在△EPN中，由勾股定理得出方程（3x+1）²+（4x）²=2²，求出方程的解即可．

解答：（1）证明：在△ABC与△CDA中，

∠B=∠D ∠BAC=∠ACD=90° AC=CA(公共边)

，
∴△ABC≌△CDA（AAS），
∴AB=CD．
又∵∠BAC=∠ACD=90°，
∴AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形；

解：（2）①当P在BC上时，有三个符合条件的点P使△BEP是等腰三角形；
当P在CD上不能得出等腰三角形；
当P在AD上时，有一个符合条件的点P使△BEP是等腰三角形；
综上所述，符合条件的点P有4个；
故答案是：4；

②解：∵∠BAC=90°，BC=5cm，AB=3cm，′
由勾股定理得：AC=4cm，
即AB、CD间的最短距离是4cm，
∵AB=3cm，AE=

1

3

AB，
∴AE=1cm，BE=2cm，
设经过ts时，△BEP是等腰三角形，
当P在BC上时，
①BP=EB=2cm，
t=2时，△BEP是等腰三角形；
②BP=PE，
作PM⊥AB于M，
∴BM=ME=

1

2

BE=1cm
∵cos∠ABC=

AB

BC

=

BM

BP

=

3

5

，
∴BP=

5

3

cm，
t=

5

3

时，△BEP是等腰三角形；
③BE=PE=2cm，
作EN⊥BC于N，则BP=2BN，
∴cosB=

BN

BE

=

3

5

，
∴

BN

2

=

3

5

，
BN=

6

5

cm，
∴BP=

12

5

，
∴t=

12

5

时，△BEP是等腰三角形；
当P在CD上不能得出等腰三角形，
∵AB、CD间的最短距离是4cm，CA⊥AB，CA=4cm，
当P在AD上时，只能BE=EP=2cm，
过P作PQ⊥BA于Q，
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠QAD=∠ABC，
∵∠BAC=∠Q=90°，
∴△QAP∽△ABC，
∴PQ：AQ：AP=4：3：5，
设PQ=4xcm，AQ=3xcm，
在△EPQ中，由勾股定理得：（3x+1）²+（4x）²=2²，
∴x=

2 21 -3

25

，
AP=5x=

2 21 -3

5

cm，
∴t=5+5+3-

2 21 -3

5

=

68-2 21

5

，
答：从运动开始经过2s或

5

3

s或

12

5

s或

68-2 21

5

s时，△BEP为等腰三角形．

点评：本题主要考查对平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定．全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．