题目内容

如图，在△ABC中，∠A=30°，AB=24cm，AC=16cm，点P从点B出发，沿BA边以4cm/秒的速度移动到点A；点Q从点C出发，沿CA边以2cm/秒的速度向点A移动．P、Q两点同时出发，设运动的时间为t（0≤t≤6）秒．
（1）已知QD⊥AB，垂足为D．
①用含t的代数式表示QD=
（8-t）
（8-t）
cm；
②当△APQ的面积是△ABC面积的一半时，求t的值；
（2）当以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似（全等除外）时，求t的值．
分析：（1）由Q的运动速度可求出t时间内Q运动的路程，进而求出AQ的长，再根据在直角三角形中30°所对的直角边为斜边的一半即可求出QD的长度；
（2）连接PQ，过点C作CE⊥AB，垂足为E，则CE=
1
2
AC=8cm，依题意得：BP=4tcm，AP=（24-4t）cm，当S△APQ=
1
2
S△ABC时，即
1
2
AP×DQ=
1
2
×AB×CE，进而求出符合题意的t值；
（3）当以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似（全等除外）时，则△APQ∽△ABC或△APQ∽△ACB，根据相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出符合题意的t值．
解答：解：（1）∵点Q从点C出发，沿CA边以2cm/秒的速度向点A移动，
∴t时的运动路程为2t，
∴CQ=2tcm，
∴AQ=AC-CQ=（16-2t）cm，
∵∠A=30°，QD⊥AB，垂足为D，
∴QD=
1
2
AQ=（8-t）cm；

（2）连接PQ，过点C作CE⊥AB，垂足为E，则CE=
1
2
AC=8cm，
依题意得：BP=4tcm，AP=（24-4t）cm，
当S△APQ=
1
2
S△ABC时，
1
2
AP×DQ=
1
2
×AB×CE，
1
2
（24-t）（8-t）=
1
2
×
1
2
×24×8，
整理得，t2-14t+24=0，
解得：t1=2，t2=12，（不合题意，舍去），
即当t=2时，△APQ的面积是△ABC面积的一半；

（3）当△APQ∽△ABC时，则有
AQ
AC
=
AP
AB

即：
16-2t
16
=
24-4t
24
，
解得：t=0（不合题意，舍去）；
当△APQ∽△ACB时，则有
AQ
AB
=
AP
AC
，
即：
16-2t
24
=
24-4t
16
，
解得t=5，
综上所述：t=5时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似（全等除外）．
故答案为：（8-t）．
点评：本题考查了和几何图形有关的运动问题、直角三角形的性质、一元二次方程的应用、相似三角形的判定和性质以及分类讨论的数学思想的运用，题目很好的考查了学生综合解题的能力，题目难度中等．
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（　　）
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1
2
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2
2
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1
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D、
1
8
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