Question

如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．

（1）求证：△ADF∽△DEC；

（2）若AB=4，AD=3，AE=3，求AF的长．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠B=∠ADC，

∴∠ADE=∠DEC，∵∠AFE=∠B，∴∠AFE=∠ADC，

∵∠AFD=180°﹣∠AFE，∠C=180°﹣∠ADC，∴∠AFD=∠C，∴∠DAF=∠CDE；

（2）解：△ADF∽△DEC．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠ADE=∠CED，∠B+∠C=180°，∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C，

∴△ADF∽△DEC；

（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC  CD=AB=4，

又∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，

在Rt△ADE中，DE===6

∵△ADF∽△DEC，∴=，∴=，∴AF=2．