Question

四边形ABCD中，对角线AC、BD的交点为O，
（1）如图1，若AD∥BC，AD=6，BC=4，求的值；
（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，过点B作BE⊥AC，垂足为E，当∠ACB=30°时，有，求BC的长度．

Answer 1

解：（1）∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴△AOD∽△COB，
∴===；

（2）设BE=x，在Rt△BEC中，
∵∠ACB=30°，
∴BC=2BE=2x，
在Rt△ABC中，
∵cos∠ACB=，
∴cos30°==，
∴AC===x，
又∵AC=BE+1=x+1，
∴x=x+1，解得x=，
∴BC=2x=2．
分析：（1）先根据AD∥BC可知∠ACB=∠DAC，∠ADB=∠DBC，故可得出△AOD∽△COB，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（2）设BE=x，在Rt△BEC中，由∠ACB=30°可知BC=2BE=2x，在Rt△ABC中由cos∠ACB=，可用x表示出AC的值，再根据AC=BE+1可得出x的值，进而得出结论．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．