Question

如图，直线y=x+b（b≠0）交坐标轴于A、B两点，交双曲线y=

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x

于点D，过D作两坐标轴的垂线DC、DE，连接OD．
（1）求证：AD平分∠CDE；
（2）对任意的实数b（b≠0），求证：AD•BD为定值；
（3）是否存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于DE⊥y轴，DC⊥x轴，不难得出∠EDC=90°，因此要证AD平分∠CDE，需证得∠ADC或∠ADE为45°，根据直线AB的解析式可得出A（-b，0），B（0，b），因此OA=OB，即三角形OAB是等腰直角三角形，即可证得∠ADC=∠ABO=45°，由此可得证；
（2）在（1）中已经证得三角形ADC是等腰三角形，同理可得出三角形BDE也是等腰三角形，因此AD=

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CD，BD=

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DE，那么AD•BD=2CD•DE，而CD和DE的长，正好是反比例函数图象上D点的横坐标与纵坐标，由此可得出AD•BD是个定值；
（3）如果四边形OBCD是平行四边形，需要满足的条件是OB=CD，OA=AC，可根据这个条件设B、D的坐标，然后将D点坐标代入反比例函数的解析式中，即可求出D点坐标，也就得出了B点的坐标，然后用待定系数法即可求得直线的解析式．

解答：（1）证明：由y=x+b得A（-b，0），B（0，b）．
∴∠DAC=∠OAB=45°
又∵DC⊥x轴，DE⊥y轴
∴∠ACD=∠CDE=90°
∴∠ADC=45°即AD平分∠CDE．

（2）证明：∵∠ACD=90°，∠ADC=45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
同理可得，△BDE是等腰直角三角形，
∴AD=

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CD，BD=

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DE．
∴AD•BD=2CD•DE=2×2=4为定值．

（3）解：存在直线AB，使得OBCD为平行四边形．
若OBCD为平行四边形，则AO=AC，OB=CD．
由（1）知AO=BO，AC=CD，
设OB=a（a＞0），
∴B（0，-a），D（2a，a），
∵D在y=

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x

上，
∴2a•a=2，
∴a₁=-1（舍去），a₂=1，
∴B（0，-1）．
又∵B在y=x+b上，
∴b=-1．
即存在直线：y=x-1，使得四边形OBCD为平行四边形．

点评：本题是反比例函数综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质．