题目内容

如图，△ABC中，AB=4，D在AB边上移动（不与A，B重合），DE∥BC交AC于E，连结CD，设S_△ABC=S，S_△DEC=S₁．
（1）当D为AB中点时，求S₁：S的值；
（2）若AD=x， $数学公式$ ，求y关于x的函数关系式及自变量的取值范围．

解：（1）∵D为AB中点，
∴AB=2AD，
∵DE∥BC，
∴AE=EC，
∵△ADE的边AE上的高和△CED的边CE上的高相等，
∴S_△ADE=S_△CDE=S₁，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴S₁：S=1：4；

（2）∵AB=4，AD=x，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）²，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x²，①
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵AB=4，AD=x，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵△ADE的边AE上的高和△CED的边CE上的高相等，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ②，
①÷②得：
∴y= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x，
∵AB=4，
∴x的取值范围是0＜x＜4．
分析：（1）先求出△ADE和△CDE的面积相等，再根据平行线得出△ADE∽△ABC，推出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，把AB=2AD代入求出即可；
（2）求出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x²①， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ②，①÷②即可得出答案．
点评：本题考查了平行的性质，相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．