Question

【题目】如图，是的重心，，，的延长线分别交，，于点，，，的值为________；

如图，是的重心．，连接，，，

①当，证明：；

设是的重心，，，，当为直角三角形时，请直接写出，，之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①见解析；②.

【解析】

（1）根据重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，可得=2，由此即可求解；（2）根据三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，可得BG=2GD；在Rt△AGC中，GD是斜边上的中线，所以AC=2GD，由此即可证得结论；（3）设FG=x，EG=y，则CG=2x，AG=2y，在Rt△AGC中，根据勾股定理可得①；在Rt△AGF中，根据勾股定理可得②；在Rt△EGC中，根据勾股定理可得③；②+③可得，所以.

（1）∵G是△ABC的重心，

∴=2，

∴=6.

即的值为6．

（2）∵G是△ABC的重心，

∴BG=2GD；

在Rt△AGC中，GD是斜边上的中线，

∴AC=2GD，

∴BG=AC．

（3）如图，

设FG=x，EG=y，则CG=2x，AG=2y，

在Rt△AGC中，∠AGC=90°，根据勾股定理可得，即①；

在Rt△AGF中，∠AGF=90°，根据勾股定理可得，由AF=AB即可得，即②；

在Rt△EGC中，∠EGC=90°，根据勾股定理可得，由EC=BC即可得，即③；

②+③可得，即

∵，

∴.