Question

如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．
①求证：BD⊥CF；
②当AB=4，AD=时，求线段BG的长．

Answer 1

解：（1）BD=CF成立。理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°。
∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF。
在△BAD和△CAF中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAF，
∴△BAD≌△CAF（SAS）。∴BD=CF。
（2）①证明：设BG交AC于点M．
∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM=∠GCM。
又∵∠BMA=∠CMG，∴△BMA∽△CMG。
∴∠BGC=∠BAC=90°。∴BD⊥CF。
②过点F作FN⊥AC于点N。

∵在正方形ADEF中，AD=DE=，
∴。
∴AN=FN=AE=1。
∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，∴CN=AC﹣AN=3，。
∴在Rt△FCN中，。
在Rt△ABM中，。
∴AM=。
∴CM=AC﹣AM=4﹣，。
∵△BMA∽△CMG，∴，即，∴CG=。
∴在Rt△BGC中，。

解析