Question

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．

如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动、DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）解答下列问题：

（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？

（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由；

（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解答：

解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上， ∴AP=AQ； ∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°， ∴∠EQC=45°； ∴∠DEF=∠EQC； ∴CE=CQ； 由题意知：CE=t，BP=2t， ∴CQ=t； ∴AQ=8﹣t； 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm； 则AP=10﹣2t； ∴10﹣2t=8﹣t； 解得：t=2； 答：当t=2s时，点A在线段PQ的垂直平分线上；（2）过P作PM⊥BE，交BE于M ∴∠BMP=90°； 在Rt△ABC和Rt△BPM中，， ∴； ∴PM=； ∵BC=6cm，CE=t，∴BE=6﹣t； ∴y=S△ABC﹣S△BPE=﹣=﹣ ==； ∵， ∴抛物线开口向上； ∴当t=3时，y最小=； 答：当t=3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2．（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上； 过P作PN⊥AC，交AC于N ∴∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°； ∵∠PAN=∠BAC， ∴△PAN∽△BAC； ∴； ∴； ∴，； ∵NQ=AQ﹣AN， ∴NQ=8﹣t﹣（）= ∵∠ACB=90°，B、C、E、F在同一条直线上， ∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ； ∵∠FQC=∠PQN， ∴△QCF∽△QNP； ∴，∴； ∵0＜t＜4.5，∴； 解得：t=1； 答：当t=1s，点P、Q、F三点在同一条直线上．