Question

【题目】直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，顶点为D的抛物线y=﹣x2+2mx﹣3m经过点A，交x轴于另一点C，连接BD，AD，CD，如图所示．

（1）直接写出抛物线的解析式和点A，C，D的坐标；

（2）动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动，同时动点Q在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．PQ交线段AD于点E．

①当∠DPE=∠CAD时，求t的值；

②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当PN=EM时，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）点A（2，0），点C（6，0），点D（4，3），（2）①秒；（2）t=（1﹣）秒或t=秒．

【解析】（1）先由直线解析式求得点A、B坐标，将点A坐标代入抛物线解析式求得m的值，从而得出答案；

（2）①由（1）知BD=AC、BD//OC，根据AB=AD=证四边形ABPQ是平行四边形得AQ=BP，即2t=4-3t，解之即可；

②分点N在AB上和点N在AD上两种情况分别求解．

（1）在中，令得，令得，

∴点、点，

将点代入抛物线解析式，得：，

解得：，

所以抛物线解析式为，

∵y，

∴点，对称轴为，

∴点C坐标为；

（2）如图1，

由（1）知，

根据，得：，

①∵、，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵、，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴四边形ABPQ是平行四边形，

∴，即，

解得：，

即当时，秒；

②Ⅰ当点N在AB上时，，即，

连接NE，延长PN交x轴于点F，延长ME交x轴于点H，

∵、，，，

∴，，、，，

∴，

∵点N在直线上，

∴点N的坐标为，

∴，

∵，

∴∽，

∴，

∴，

∵、，

∴直线AD解析式为，

∵点E在直线上，

∴点E的坐标为，

∵，

∴，

解得：舍或；

Ⅱ当点N在AD上时，，即，

∵，

∴点E、N重合，此时，

∴，

∴，

解得：，

综上所述，当时，秒或秒