Question

如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，4），C（2，0），将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转135⁰，得到矩形EFGH（点E与O重合）.

（1）若GH交y轴于点M，则∠FOM＝      ，OM=        ；
（2）矩形EFGH沿y轴向上平移t个单位.
①直线GH与x轴交于点D，若AD∥BO，求t的值；
②若矩形EFHG与矩形OABC重叠部分的面积为S个平方单位，试求当0<t≤时，S与t之间的函数关系式.

Answer 1

（1）45⁰，；（2）①－2；②.

试题分析：（1）由旋转的性质，得∠AOF＝135⁰，∴∠FOM＝45⁰，由旋转的性质，得∠OHM＝45⁰，OH=OC=2，∴OM=；（2）①由矩形的性质和已知AD∥BO，可得四边形ABOD是平行四边形，从而DO=AB=2，又由△DOI是等腰直角三角形可得OI=OD=2，从而由平移的性质可求得t=IM=OM－OI=－2；②首先确定当0<t≤时，矩形EFGH沿y轴向上平移过程中关键点的位置，分0<t≤2，2<t≤， <t≤三种情况求出S与t之间的函数关系式.
试题解析：（1）45⁰；.
（2）①如图1，设直线HG与y轴交于点I，
∵四边形OABC是矩形，∴AB∥DO，AB=OC.
∵C（2，0），∴AB=OC=2.
又∵AD∥BO， ∴四边形ABOD是平行四边形. ∴DO=AB=2.
由（1）易得，△DOI是等腰直角三角形，∴OI=OD=2.
∴t=IM=OM－OI=－2.

②如图2，

过点F，G分别作x轴，y轴的垂线，垂足为R，T，连接OC. 则
由旋转的性质，得，OF=OA=4，∠FOR＝45⁰，
∴OR=RF=，F（，－）.
由旋转的性质和勾股定理，得OG=，
设TG=MT=x，则OT=OM＋MT=.
在Rt△OTG中，由勾股定理，得，解得x=. ∴G（，－）.
∴用待定系数法求得直线FG的解析式为.
当x=2时，.
∴当t=时，就是GF平移到过点C时的位置（如图5）.
∴当0<t≤时，几个关键点如图3，4，5所示：
如图3 ，t=OE=OC=2，此时，矩形EFGH沿y轴向上平移过程中边EF经过点C；

如图4，t=OE=OM=，此时，矩形EFGH沿y轴向上平移过程中边HG经过点O；

如图5，t=OE=，此时，矩形EFGH沿y轴向上平移过程中边FG经过点C.

∴（Ⅰ）当0<t≤2时，矩形EFHG与矩形OABC重叠部分的面积为△OCS的面积（如图6）.此时，OE="OS=" t， ∴.

（Ⅱ）当2<t≤时，矩形EFHG与矩形OABC重叠部分的面积为直角梯形OEPC的面积（如图7）.此时OE= t，，OC=2.

由E（0，t），∠FFO=45⁰，用用待定系数法求得直线EP的解析式为.
当x=2时，. ∴CP=. ∴.
（Ⅲ）当<t≤时，矩形EFHG与矩形OABC重叠部分的面积为五边形EQCUV的面积（如图8），

它等于直角梯形EQCO的面积减去直角三角形VOU的的面积.
此时，OE= t，，OC=2，CQ= ，OU="OV=" t－.
∴.
综上所述，当0<t≤时，S与t之间的函数关系式为.