Question

如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B重合），过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．

（1）求证：AC•CD=PC•BC；

（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；

（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．

Answer 1

 

分析： （1）由圆周角定理知∠A=∠P，而∠ACB=∠PCD=90°，故有△ABC∽△PCD⇒⇒AC•CD=PC•BC；

（2）当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E．由题意知∠PCB=45°，CE=BE，而又∠CAB=∠CPB，得tan∠CPB=tan∠CAB=．代入数值可求得PE的值，从而PC=PE+EC，由（1）知CD=PC，即可求出；

（3）由题意知，S_△PCD=PC•CD．由（1）可知，CD=PC．有S_△PCD=PC²．故PC最大时，S_△PCD取得最大值；而PC为直径时最大，故可求解．

解答： （1）证明：∵AB为直径，

∴∠ACB=90°．

又∵PC⊥CD，

∴∠PCD=90°．

而∠CAB=∠CPD，

∴△ABC∽△PDC．

∴．

∴AC•CD=PC•BC；（3分）

 

（2）解：当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E．

∵AB为直径，AB=5，BC：CA=4：3，

∴BC=4．

∵P是的中点，

∴∠PCB=45°，

∴CE=BE=BC=2．

又∠CAB=∠CPB，

∴tan∠CPB=tan∠CAB=．

∴PE===．

从而PC=PE+EC=，

由（1）得CD=PC=（7分）

 

（3）解：当点P在AB上运动时，S_△PCD=PC•CD．由（1）可知，CD=PC．

∴S_△PCD=CD×PC=×PC×PC=PC²．故PC最大时，S_△PCD取得最大值；

而PC为直径时最大，

∴S_△PCD的最大值S=×5²=．（10分）