Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8厘米，AC=12厘米，点D在AC上，CD=3厘米．点P、Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒是k厘米；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x秒（0＜x＜8），△DCQ的面积为y₁平方厘米，△PCQ的面积为y₂平方厘米．
（1）求y₁与x的函数关系，并在图2中画出y₁的图象；
（2）如图2，y₂的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求k的值和y₂与x的函数关系；
（3）在图2中，设y₁与y₂的图象的交点为M，点G是x轴正半轴上一点（0＜OG＜6），过G作EF垂直于x轴，分别与y₁、y₂的图象交于点E、F．求△OMF面积的最大值．
①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义；
②求△OMF面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）直接根据三角形的面积公式可得y₁=

3

2

x；
（2）先设y₂=

1

2

x（12-kx）=-

k

2

x²+6x，把x=12时，y₂=12代入解析式可求得k=

3

2

，即y₂=-

3

4

x²+6x；
（3）①线段是长EF=y₂-y₁，表示△PCQ与△DCQ的面积差（或△PDQ的面积），由

3

2

x=-

3

4

x₂+6x得点M（6，9），过点M做MH⊥EF于点H，则S_△OMF=S_△OEF+S_△MEF=3EF=3（-

3

4

x²+6x-

3

2

x）=-

9

4

（x-3）²+

81

4

，所以当x=3时，△OMF的面积有最大值为

81

4

．

解答：解：（1）y₁=

3

2

x
画图正确（2分）

（2）y₂=

1

2

x（12-kx）=-

k

2

x²+6x   （4分）
由题设：当x=4时，y₂=12，
所以-8k+24=12，
解得k=

3

2

（5分）
从而y₂=-

3

4

x²+6x   （6分）

（3）①线段是长EF=y₂-y₁，表示△PCQ与△DCQ的面积差（或△PDQ的面积）（7分）
②解法一：由

3

2

x=-

3

4

x₂+6x
得点M（6，9）
过点M做MH⊥EF于点H，则S_△OMF=S_△OEF+S_△MEF=

1

2

EF．
OG+

1

2

EF．MH=

1

2

EF×6=3EF（9分）
=3（-

3

4

x²+6x-

3

2

x）=-

9

4

（x-3）²+

81

4

（10分）
所以当x=3时，△OMF的面积有最大值为

81

4

（12分）
解法二：由

3

2

x=-

3

4

x₂+6x得点M（6，9）
过点M做MH⊥x轴于点N，则
S_△OMF=S_{四边形ONMF}-S_△ONM=S_△OGF+S_梯形FGNM-S_△ONM（9分）
=-

9

4

x²+

27

2

x   （10分）
所以当x=3时，△OMF的面积有最大值为

81

4

．（12分）

点评：本题结合三角形的性质考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，要利用三角形的性质和二次函数的性质把数与形有机的结合在一起，利用图形间的“和差“关系求解．