Question

设7⁷=m，7^m=n，则7ⁿ的末3位数字为

343

．

Answer 1

分析：先计算出7ⁿ的前几个数的末三位数的特征，从而可得出末三位数呈周期性变化，然后利用周期性的知识进行解答即可．

解答：解：7、，7²、7³…末三位数依次为：007、049、343、401、807、649、543、801、607、249、743、201、407、849、943、601、207、449、143、001、007…
∴可得：7²¹的末三位数与7的末三位相同，
∴7ⁿ的末三位数是循环出现的，且周期为20，
∴可得：7^20k+r与7^r的末三位数相同，（k为非负数，0≤r≤20），
设7^m=n被20除余a，
∵7⁷的末三位数为543，故7⁷=20p+3，（p为正整数），
∴n=7^m=7^20p+3，n的末三位数与7³的末三位数相同，都为343，故n=1000c+343=20q+3，（c、q都为正整数），
∴a=3，7ⁿ的末三位数与7³的末三位数相同，都为343．
故答案为：343．

点评：本题考查了尾数的特征，难度较大，解答本题的关键是得出7ⁿ的末三位数是循环出现的，且周期为20，这是需要大量的计算才能得出的．