Question

已知四边形OABC是边长为4的正方形，分别以OA、OC所在的直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，直线l经过A、C两点．
（1）求直线l的函数表达式；
（2）若P是直线l上的一个动点，请直接写出当△OPA是等腰三角形时点P的坐标；
（3）如图2，若点D是OC的中点，E是直线l上的一个动点，求使OE+DE取得最小值时点E的坐标．

Answer 1

分析：（1）易得A，C两点的坐标，设出一次函数解析式，把这两点代入可得所求函数解析式；
（2）分别以点O或点A为圆心，以OA长为半径画弧，可得3个可能的点P，作出OA的垂直平分线可得第4个点P；
（3）易得点O与点B关于直线l对称，那么连接BD，与l的交点即为点E，得到DB的解析式与l的解析式联立可得E的坐标．

解答：解：（1）设直线l的函数表达式y=kx+b（k≠0），经过A（4，0）和C（0，4）得

0=4k+b 4=b

，
解之得

k=-1 b=4

，
∴直线l的函数表达式y=-x+4；

（2）P₁（0，4）、P₂（2，2）、P₃ (4-2

2

，2

2

)、P₄(4+2

2

，-2

2

)；

（3）∵O与B关于直线l对称，
∴连接DB，交AC于点E，则点E为所求，此时OE+DE取得最小值，
设DB所在直线为y=k₁x+b₁ （k₁≠0），经过点D（0，2）、B（4，4）

4=4k1+b1 2=b1

，
解得 

k1= 1 2 b1=2

∴直线DB为y=

1

2

x+2，
解方程组：

y=-x+4 y= 1 2 x+2

，得

x= 4 3 y= 8 3

，
∴点E的坐标为(

4

3

，

8

3

)．

点评：考查一次函数的应用；在本题中应注意可能为等腰三角形的不同情况；在求平面图形中的最短距离和时，应找到特殊点关于直线的对应点．