Question

方程x²+（2m-1）x+（m-6）=0有一根不大于-1，另一根不小于1，则该方程两根平方和的最大值是

 

．

Answer 1

分析：设y=x²+（2m-1）x+（m-6），根据有一根不大于-1，另一根不小于1，可列出不等式组，即可解得m的取值范围，再根据根与系数的关系求两根平方和的最大值．

解答：解：设y=x²+（2m-1）x+（m-6），△=（2m-1）²-4（m-6）=4（m-1）²+21＞0，
由方程有一根不大于-1，另一根不小于1，可得不等式组为：

f(-1)＜0 f(1)＜0

，解得：-4≤m≤2．
方程两根平方和为：x₁²+x₂²=4m²-6m+13=4(m-

3

4

)2+10

3

4

，
∴当m=-4时，有最大值101．
故答案为：101．

点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系及二次函数的最值，难度较大，关键是掌握方程ax²+bx+c=0的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．