题目内容

如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，3），直线x=-3交x轴于点B，P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交于直线x=-3于点C．过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于M，交直线x=-3于点N．
（1）当点C在第二象限时，求证：△OPM≌△PCN；
（2）设AP长为m，以P、O、B、C为顶点的四边形的面积为S，请求出S与M之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=-3上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由．

【答案】分析：（1）由条件可以求出点B的坐标为（-3，0），由点A（0，3）可以得出OB=OA，进而可以得出∠ABO=45°，又MN∥x轴，可以得出∠BPN=45°，从而可以得出BN=PN=MO，再由角相等的关系可以得出△OPM≌△PCN；
（2）由∠BAO=45°及PA=m可以求出PM=NC=

，可以求出PN，就可以分为两种情况表示出S的表达式．
（3）当P点在A点PC∥x轴时或PB=BC=3时△PBC是等腰三角形，由条件可以求出点P的坐标．
解答：（1）证明：∵直线x=-3交x轴于点B，
∴B（-3，0），
∴OB=3，
∵A点的坐标为（0，3），
∴OA=3，
∴OA=OB，且∠AOB=90°，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
∴∠ABN=45°
∵MN∥x轴，
∴∠NPB=∠ABO=45°，
∴∠NPB=∠NBP，
∴PN=BN，
∵MN∥x轴，BN∥y轴，
∴四边形NBOM是平行四边形，
∴BN=MO，
∴PN=MO，
∵PC⊥PO，
∴∠CPO=90°，
∴∠NPC+∠OPM=90°，
∵∠OPM+∠POM=90°
∴∠NPC=∠POM，

∴△OPM≌△PCN．
（2）解：如图1，∵AP=m，由勾股定理得：PM=AM=

，
∴PN=3-

，作PH⊥x轴于点H，
∴PN=PH，∠NPC=∠HPO，∠PNC=∠PHO，
∴△PNC≌△PHO，
∴S_△PNC=S_△PHO，
∴S_{四边形POBC}=S_矩形PNBH，
∴S=（3-

m）²，
如图2，同理可以求得：
△PNC≌△PHO，

∴CN=HO，NP=HP=3-

m，
∴BC=

m-3
∴S_△PNC=S_△PHO，
∴S_{四边形POBC}=

，
=

．
S=

（

＜m≤3

）；
S=

m²-3

m+9（0≤m≤

）；
（3）解：△PBC可能为等腰三角形．
①当P与A重合时，PC=BC=3，此时P（0，3）；
②当点C在第二象限，且PC=CB时，
设AM=a，则PM=a，PN=3-a，BN=MO=3-a，由（1）知NC=PM=a，
∴BC=3-2a，
∴BC²=9-12a+4a²．
∵PC²=a²+（3-a）²=2a²-6a+9，
∴9-12a+4a²=2a²-6a+9，
解得：a₁=0（舍去），a₂=3
∴A点与P点重合．
③当点C在第三象限（如图），PB=BC时，设AP=n，由条件根据勾股定理可以知道AB=3