Question

（2002•上海模拟）函数y=-

3

16

x²+3的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，过点A、B分别作y轴、x轴的平行线交直线y=kx于点M、N．
（1）用k表示S_△OBN：S_△MAO的值．
（2）当S_△OBN=

1

4

S_△MAO时，求图象过点M、N、B的二次函数的解析式．

Answer 1

分析：（1）首先由抛物线的解析式求出点A、B的坐标，进而能得到M、N的坐标，以及AM、BN的长，OA、OB长易知，即可得到△OBN、△OMA的面积表达式，由此得解．
（2）将△OBN、△MAO的面积表达式代入S_△OBN=

1

4

S_△MAO中，求出k值后即可确定点M、N的坐标，再由待定系数法确定二次函数的解析式．

解答：解：（1）由y=-

3

16

x²+3知：点A（4，0）、B（0，3）；
当x=4时，y=kx=4k，即：M（4，4k）；
当y=3时，kx=3，x=

3

k

，即：N（

3

k

，3）；
∴AM=4|k|、BN=

3

|k|

；
∴S_△OBN=

1

2

OB•BN=

1

2

•3•

3

|k|

=

9

2|k|

，S_△MAO=

1

2

•OA•AM=

1

2

•4•4|k|=8|k|；
∴

S△OBN

S△MAO

=

9 2|k|

8|k|

=

9

16k2

．

（2）由S_△OBN=

1

4

S_△MAO，得：

S△OBN

S△MAO

=

1

4

，即：

9

16k2

=

1

4

，解得：k=±

3

2

；
当k=

3

2

时，M（4，6）、N（2，3）；
设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，有：

16a+4b+c=6 4a+2b+c=3 c=3

，解得：

a= 3 8 b=- 3 4 c=3

∴抛物线的解析式：y=

3

8

x²-

3

4

x+3；
当k=-

3

2

时，M（4，-6）、N（-2，3），同理可求得抛物线的解析式为：y=-

3

8

x²-

3

4

x+3；
综上，过点M、N、B的二次函数的解析式为：y=

3

8

x²-

3

4

x+3或y=-

3

8

x²-

3

4

x+3．

点评：此题主要考查了函数解析式的确定、函数图象交点坐标的解法以及图形面积的求法等知识；本题中，k的符号并不明确，因此要防止漏解的情况发生．