题目内容

如图，四边形OABC的四个顶点坐标分别为O（0，0），A（8，0），B（4，4），C（0，4），直线l：y=x+b保持与四边形OABC的边交于点M、N（M在精英家教网折线AOC上，N在折线ABC上）．设四边形OABC在l右下方部分的面积为S1，在l左上方部分的面积为S2，记S为S1、S2的差（S≥0）．
（1）求∠OAB的大小；
（2）当M、N重合时，求l的解析式；
（3）当b≤0时，问线段AB上是否存在点N使得S=0？若存在，求b的值；若不存在，请说明理由；
（4）求S与b的函数关系式．
分析：（1）过点B过BE⊥x轴，垂足为E．求出点E的坐标，求出等腰直角三角形ABE即可；
（2）把A（8，0）C（0，4）点代入y=x+b求出即可；
（3）求出梯形的面积，过点N作x轴的垂线NH，得到NH=AH=MH，设NH=a，代入面积公式求出a，代入解析式求出b即可；
（4）分为三种情况：①当0≤b≤4时，②当4
3
-8≤b＜0时，③③-8＜a＜-8+4
3
时，设直线AB的解析式是y=cx+d，把A（8，0），B（4，4）代入求出解析式，解两直线组成的方程组，求出交点坐标，根据梯形和三角形的面积求出S即可．
解答：精英家教网解：（1）过点B过BE⊥x轴，垂足为E．点E（4，0），
∴BE=4，AE=4，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
答：∠OAB=45°．

（2）当点M、N重合时，
∵S≥0，
∴应重合到点C（0，4），
∵把C（0，4）代入y=x+b得：b=4，
∴直线l的解析式y=x+4．

（3）四边形OABC的面积为
1
2
×4（4+8）=24，
直线l：y=x+b与x轴的交角为45°，△AMN为等腰直角三角形．
当S=0时，△AMN的面积为四边形OABC的面积的一半，即12．
过点N作x轴的垂线NH，
则NH=AH=MH，
设NH=a，
1
2
×2a×a=12，
解得：a=2
3
，
∴OH=8-2
3
，
∴点N的坐标为（8-2
3
，2
3
），
代入y=x+b得：b=4
3
-8．
答：当b≤0时，线段AB上存在点N使得S=0，b的值是4
3
-8．

（4）分为三种情况：①如图在N1、M1时，当4
3
-8≤b＜0时，精英家教网
OM=-b，AM=8-（-b）=8+b，
设直线AB的解析式是y=cx+d，
把A（8，0），B（4，4）代入得：
0=8c+d
4=4c+d
，
解得：
c=-1
d=8
，
y=-x+8，
解方程组
y=-x+8
y=x+b
得：
x=
8-b
2
y=
8+b
2
，
S1=
1
2
AM×NH=
1
2
×2×
8+b
2
×
8+b
2
=
1
4
b2+4b+16；
S2=24-S1，
S=|S1-S2|=
1
4
b2+4b+16-[24-（
1
4
b2+4b+16）]=
1
2
b2+8b+8，
②当0≤b≤4时，如图在N2、M2点时，OM=b，CM=4-b，精英家教网
S2=
1
2
（4-b）2，S1=24-S2，
S=S1-S2=-b2+8b+8，
③-8＜a＜-8+4
3
时，如图，在N3、M3时，S1=
1
2
×2×
8+b
2
×
8+b
2
=
1
4
b2+4b+16；
S2=24-S1，
S=S2-S1=[24-（
1
4
b2+4b+16）]-（
1
4
b2+4b+16）=-
1
2
b2+8b+8，
点评：本题主要考查对三角形的面积，梯形，等腰直角三角形，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的性质，解一元一次方程，解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．
练习册系列答案
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如图，四边形OABC为直角梯形，BC∥OA，∠O=90°，OA=4，BC=3，OC=4．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运精英家教网动．过点N作NP⊥OA于点P，连接AC交NP于Q，连接MQ． 
（1）点
 
（填M或N）能到达终点；
（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
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（1）求点G的坐标；
（2）求折痕EF所在直线的解析式；
（3）设点P为直线EF上的点，是否存在这样的点P，使得以P，F，G为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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（1）若点Q为线段BC边中点，直接写出点P、点M的坐标；
（2）在（1）的条件下，设△OEF与四边形OAMP重叠面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）在（1）的条件下，在正方形OABC边上，是否存在点H，使△PMH为等腰三角形，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由；
（4）若点Q为线段BC上任一点（不与点B、C重合），△BNQ的周长是否发生变化，若不发生变化，求出其值，若发生变化，请说明理由．
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（2012•呼伦贝尔）如图，四边形OABC是边长为2的正方形，反比例函数y=
k
x
的图象过点B，则k的值为（　　）
附加题：如图，四边形OABC为直角梯形，已知AB∥OC，BC⊥OC，A点坐标为（3，4），AB=6，若动点P沿着O→A→B→C的方向运动（不包括O点和C点），P点运动路程为S，下列语句中正确的个数精英家教网是（　　）
（1）直线OA的函数解析式为y=
4
3
x；
（2）梯形OABC的周长为24；
（3）若点P在线段AB上时，P点的坐标为（S-5，4）
（4）若点P在线段BC上时，P点的坐标为（9，15-S）
A、1个B、2个C、3个D、4个

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